RESEÑA HISTÓRICA

En la matemática griega, dos magnitudes son conmensurables si es posible encontrar una tercera tal que las primeras dos sean múltiplos de la última, es decir, es posible encontrar una unidad común para la que las dos magnitudes tengan una medida entera. El principio pitagórico de que todo número es un cociente de enteros, expresaba en esta forma que cualesquiera dos magnitudes deben ser conmensurables.

Sin embargo, el ambicioso proyecto pitagórico se tambaleó ante el problema de medir la diagonal de un cuadrado, o la hipotenusa de un triángulo rectángulo, pues no es conmensurable respecto de los catetos. En notación moderna, un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1, tiene una hipotenusa que mide raíz cuadrada de dos √2:Si √2 = ^$p$/_$q$ es un número racional donde

p / q

está reducido a sus términos mínimos (sin factor común) entonces 2

q

² =

p

². La expresión anterior indica que

p

² es un número par y por tanto

p

también, es decir,

p

= 2

m

. Sustituyendo obtenemos 2

q

² = (2

m

)² = 4

m

², y por tanto

q

² = 2

m

². Pero el mismo argumento usado nos dice ahora que

q

debe ser un número par, esto es,

q

= 2

n

. Mas esto es imposible, puesto que

p

q

no tienen factores comunes (y hemos encontrado que 2 es un factor de ambos). Por tanto, la suposición misma de que √2 es un número racional debe ser falsa.

Posteriormente, la invención del cálculo abrió un período de grandes avances matemáticos, con nuevos y poderosos métodos que permitieron por vez primera atacar los problemas relacionados con lo infinito mediante el concepto de límite. Así, un número irracional pudo ser entendido como el límite de una suma infinita de números racionales (por ejemplo, su expansión decimal). Como muestra, el número

π

puede estudiarse de forma algebraica (sin apelar a la intuición geométrica) mediante la serie:

\pi = 4 \left ( 1 - \frac{1}{3}+\frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots \right ) = 4\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{1}{2k+1}

LOS NÚMEROS REALES COMO UN CAMPO

Al "construir" la matemática, los números naturales, son una clase de equivalencia de conjuntos coordinables. Los números enteros son una clase de equivalencia de parejas ordenadas de números naturales. Los números racionales son una clase de equivalencia de parejas ordenadas de números enteros.

Los números irracionales son los elementos de la recta real que NO pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen un periodo definido.

De este modo ya pueden definirse los números reales que surgen de la unión de lo que son los conjuntos de números naturales, enteros, irracionales y racionales.

Los números reales son llamados campo de los números reales. Esto es por que son un grupo abeliano, es decir poseen la ley de cerradura, la conmutativa, asociativa, distributiva y poseen elementos neutros e inversos. Todos estos elementos hacen que los números reales sean un campo.

AXIOMA DE LOS NUMERO REALES

Para que todos los procedimientos matemáticos usados sean válidos se debe partir de una base que respalde cada procedimiento, cada paso lógico usado, y debe, en consecuencia, demostrarse cada afirmación no trivial. Son estas demostraciones los pilares fundamentales de toda rama de las matemáticas, ya que sin ellos puede ponerse en duda la veracidad de cualquier afirmación. Las afirmaciones a las que se hace referencia se llaman axiomas. Serán, por lo tanto, afirmaciones que se aceptan como verdaderas debido a su trivialidad, pudiendo en ocasiones ser demostradas cuando no lo son. El otro tipo de afirmaciones a las que se hace referencia diciendo: "afirmación no trivial", son los teoremas, que son ya, afirmaciones no tan triviales y muchas veces poco intuitivas. Estas afirmaciones deben ser demostradas usando los axiomas u otros teoremas ya demostrados. Una consecuencia inmediata de un teorema se llamará corolario.

Hay tres tipos de axiomas:

Los axiomas algebraicos
Los axiomas de orden
El axioma topo lógico.

TEOREMA DE LOS NÚMEROS REALES

Teorema 1. En ℜ, los elementos identidad para la suma y para la multiplicación (neutro aditivo y multiplicativo respecto.) son únicos.

Demostración: Se emplea el Método de Reducción al Absurdo. Supongamos la existencia de otro elemento neutro para la suma, designado como 0* ≠ 0. Entonces aplicando B2 se tiene: 0* + 0 = 0 y 0 + 0* = 0* Por conmutatividad (B1) y aplicando transitividad (A3), se concluye que 0 = 0* ⇒⇐ la suposición de la Hipó., luego es falso que 0* ≠ 0 y entonces el neutro para la suma es único.

Demostrar en forma análoga la unicidad del neutro multiplicativo.

Teorema 2. En ℜ, los elementos inversos para la suma y para la multiplicación son únicos. Demostración: Dado a ∈ ℜ, supongamos ∃ (-a) y a´ elementos inversos de a para la suma en que (-a) ≠ a´. Entonces se cumple: a + (-a) = 0 y a + a´ = 0 ⇒ a + (-a) = a + a´ ⇔ [ a + (-a) ] + (-a) = [ a + a´ ] + (-a) ⇒ 0 + (-a) = [ a + (-a) ] + a´ luego (-a) = a´ ⇒⇐ la Hipótesis ⇒ Es falso (-a) ≠ a´ y el inverso aditivo es único.

MÚLTIPLOS Y DIVISORES

Los múltiplos de un número natural son los números naturales que resultan de multiplicar ese número por otros números naturales. Decimos que un número es múltiplo de otro si lo contiene un número entero de veces. • El número 0 solamente tiene un múltiplo, que es el 0. Los demás números naturales tienen infinito número de múltiplos. • El número 0 es múltiplo de todos los números. • Todos los números son múltiplos de 1.

Los divisores

Los divisores de un número natural son los números naturales que le pueden dividir, resultando de cociente otro número natural y de resto 0. Ser divisor es lo recíproco a ser múltiplo. Si 9 es múltiplo de 3, entonces 3 es divisor de 9. Un número a es divisor de un número b si la división de b entre a, es exacta. Cada número tiene una cantidad concreta de divisores. A la derecha puedes ver algunos ejemplos. • Solamente el 0 tiene infinito número de divisores, ya que todos los números son divisores de 0. El número 1 tiene solamente un divisor. El 0 y el 1 son números especiales.

Cuáles de los siguientes números son múltiplos de 6? 33, 54, 9, 88, 68, 6, 89, 53, 73, 77, 42, 3. Solución: Son múltiplos 54, 6 y 42. No son múltiplos 33, 9, 88, 68, 89, 53, 73, 77, y 3. 2. Busca los 9 divisores de 36. Solución: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36. 3. ¿Cuáles de los siguientes números son divisores de 48? 4, 7, 6, 35, 10, 8, 24, 1, 3, 17, 21, 12. Solución: Son divisores 4, 6, 8, 24, 1, 3, 12. No son divisores 7, 35, 10, 17, 21.

RAZONES Y PROPOSICIONES

1. RAZONES

La razón de dos números resulta de dividir ambos números. Por ejemplo la razón de 7 a 4 se escribe 7/4 o 7:4 y se lee siete es a cuatro. El primer término es el antecedente y el segundo consecuente.

2. PROPORCIONES.

Consiste en la igualdad entre 2 razones y se representa de dos maneras:

a/b=c/d o a:b::c:d

Y se lee a es a b como c es a d. Los puntos a y d se llaman extremos y los puntos b y c se llaman medios.

Propiedades de las proporciones

Propiedad 1 : en toda proporción , la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su consecuente , como la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su consecuente .

a =  c   →   a + b = c + d
b     d            b          d

a =  c →  a - b =  c - d
b     d          b          d

Propiedad 2 : en toda proporción , la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su antecedente , como la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su antecedente .

a =  c →  a + b = c + d
b     d          a          c

a =  c  →  a - b =  c - d
b     d          a          c

Propiedad 3 : en toda proporción, la suma entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a la diferencia entre los mismos , como la suma entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a la diferencia de los mismos .

a =  c →  a + b =  c + d
b     d        a - b       c - d

Serie de razones iguales : una serie de razones iguales es una igualdad entre dos o másrazones .

a =  c  = e =  m
b     d    f    n

Propiedad 4 : en toda serie de razones iguales la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes , como uno de los antecedentes es a su consecuente .

a =  c = e = m   =   a + c + e+ m
b     d    f    n    b+ d + f+ n

Ejercicio 1

Hallar los valores desconocidos de la siguiente serie de razones iguales .

4 =  5 =  1        ↔    4 =  1 → 4 . 3 = b . 1 → b = 12
b     d    3               b     3

5 =  1    → 5 . 3 = 1 . d → d = 15
d     3

4 =  5 = 1    ↔    4   =  5   =  1
b     d    3              12 15    3

Ejercicio 2 . Aplicar las propiedades de las proporciones .

a) a+ b = 9   ; a / b = 1 / 2

a =  c   →   a + b = c + d
b     d            b            d

  9 = 1 + 2   →  9 =  3   → 9 . 2 = 3 . b → b =  9 . 2 = 6
b      2            b     2                                      3

a + b = 9

a + 6 = 9 ↔ a = 9 - 6 → a = 3

b) a - b = 2 ; a / b = 4 /3

a =  c →  a - b =  c - d
b     d          a            c

2 = 4 - 3 →   2 =  1 → 2 . 4 = a . 1 → a = 2 . 4 = 8
a      4            a    4                                       1
a - b = 2

8 - b = 2 ↔ b = 8 - 2 = 6

Resolver

a ) a + b = 5   y la razón es 1,5                                 solución 2 y 3
b ) a - b = - 1 y la razón entre ellos 0,875                solución 7 y 8

Los 10 casos de factorizacion

¡

Caso I

- Factor común

Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.

Factor común monomio

Factor común por agrupación de términos

ab + ac + ad = a ( b + c + d)
ax + bx + ay + by = (a + b )( x + y )

Factor común polinomio

Primero hay que sacar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente) para luego operar; ejemplo:

ab - bc = b(a-c)

Caso II

- Factor común por agrupación de términos

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir:

ab+ac+bd+dc = (ab+ac)+(bd+dc)
= a(b+c)+d(b+c)
= (a+d) (b+c)

Caso III

- Trinomio cuadrado perfecto

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces. Para solucionar un T.C.P. debemos organizar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separandolos por el signos que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado. Ejemplo:

(45x-37y)^26564 = 25x^2-30xy+9y^2
(67x+25y)^2456 = 9x^2+12xy+4y^2
(5x+7y)^256 = x^2+2xy+y^2
867x^2+25y^2456-67567xy

Organizando los términos tenemos

467x^2 - 5675xy + 567y^2

Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:

( 2x - 5y )^2

Caso IV

- Diferencia de cuadrados

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma), uno positivo y otro negativo. En los paréntesis deben colocarse las raíces. Ejemplo:

(9y^2)-(4x^2)=(3y-2x)(3y+2x)

Caso V

- Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie. Para solucionarlo, se usan como ayuda los casos número III y IV. para moldar debe de saber el coseno de la raíz de la suma de dos polimo x que multiplicado sale igual a la raíz de 2.

Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.

Ejemplo :

a2 + 2 a - 15 = ( a + 5 ) ( a – 3 )

Caso 6:

Caso 7

Caso VIII

- Trinomio de la forma ax2 + bx + c
En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, ósea sin una parte literal, así:

4x2 + 12x + 9

Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica el término independiente por el coeficiente del primer término(4x2) :

4x2 + 12x + (9.4)

4x2 + 12x + 36 4x2

Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x :

6 . 6 = 36

6 + 6 = 12

Después procedemos a colocar de forma completa el término x2 sin ser elevado al cuadrado en paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente :

( 4x + 6 ) ( 4x + 6 )

Para terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x2 :
Queda así terminada la factorización :

(2x+3)(2x+3)=(2x3)2

Caso IX

- Cubo perfecto de Tetranomios

Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:
(a+b)3 = 3 a2b + 3 ab2 +b3
(a-b)3 = a3 – 3 a2b + 3 a2b – b3

Caso 10

intervalos

es un espacio métrico comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real

\R

, es decir, una parte de recta entre dos valores dados. Es un conjunto medible y tiene la misma cardinalidad de la recta real.²

clasificacion de los intervalos

Intervalo abierto[editar]

No incluye los extremos.

$(a,b)\$ o bien $]a,b[\$
Notación conjuntista o en términos de desigualdades:

I = (a,b), \quad \forall x \in I: \quad a < x < b

En la definición de límite ordinario de una función real se considera como dominio un intervalo abierto que contiene al punto de acumulación.

En la topología usual de la recta (o ℝ) se usa un intervalo abierto para definir un conjunto abierto en dicha topología. En la topología usual de ℝ, un intervalo abierto es un conjunto abierto. El intervalo abierto <a, b> es igual a su interior, su frontera es el conjunto {a, b} y su clausura es el intervalo cerrado [a, b].³ No tiene puntos aislados, mientras que todos su puntos son puntos de acumulación del mismo intervalo, de suma importancia en asuntos de límites de funciones.⁴

Intervalo cerrado[editar]

Sí incluye los extremos.

Que se indica: $I = [a,b]\$

En notación conjuntista:

I = [a,b], \quad \forall x \in I: \quad a \le x \le b

Si incluye únicamente uno de los extremos.

Con la notación $(a,b]\$ o bien $]a,b]\$ indicamos.

En notación conjuntista:

I = (a,b], \quad \forall x \in I: \quad a < x \le b

Y con la notación $[a,b)\$ o bien $[a,b[\$ ,

En notación conjuntista:

I = [a,b), \quad \forall x \in I: \quad a \le x < b

Los cuatro tipos de intervalos anteriores se llaman finitos; los expertos asignan como su longitud |b- a|. Son muy útiles en el análisis matemático y en los temas de topología general, para el estudio de diferentes conceptos como clausura, interior, frontera, conexidad, etc.⁵ Se usan en definición de funciones como la función máximo entero, o la función techo o función piso en matemáticas discretas y para la solución de ecuaciones que conllevan valor abosoluto, la función signo, etc.⁶

Los intervalos finitos tienen un centro de simetría que es (a + b)/2, llamado punto medio, donde los extremos son a y b con a < b. En el caso a=b, no existe punto medio y el intervalo abierto es ∅.⁷

Intervalo infinito[editar]

Incluye un extremo e infinito por la derecha.

Con la notación $[a,\infty)\$ indicamos.

En notación conjuntista:

I = [a,\infty), \quad \forall x \in I: \quad a \le x < \infty

Sin incluir el extremo:

Y con la notación $(a,\infty)$ ,

I = (a,\infty), \quad \forall x \in I: \quad a < x < \infty

Incluye un extremo e infinito por la izquierda.

Con la notación $(-\infty, a]\$ indicamos.

En notación conjuntista:

I = (-\infty, a], \quad \forall x \in I: \quad x \le a < \infty

Sin incluir el extremo:

Y con la notación $(-\infty,a)$ ,

En notación conjuntista:

I = (-\infty,a), \quad \forall x \in I: \quad x < a < \infty

Para todo valor real:

Y con la notación $(-\infty,\infty)$ ,

En notación conjuntista:

I = (-\infty,\infty), \quad \forall x \in R

operacion de los intervalos

Operaciones con intervalos[editar]

En notación conjuntista: supongamos el conjunto A:

A = \{ x, \; x \in R : \quad x < 4 \}

Esto se lee: A son todos los x reales tales que x es menor que cuatro.

Y el conjunto B:

B = \{ x , \; x \in R : \quad 9 < x \}

El conjunto B abarca todos los x, reales, mayores que nueve.

El conjunto unión de A y B sería:

A \cup B = \{ x , \; x \in R : \quad x < 4 \; \lor \; 9 < x \}

O también se puede anotar:

x \in (-\infty, 4) \cup (9, \infty)

La unión de dos o más conjuntos es tomar todos los puntos pertenecientes a cada conjunto.

El conjunto intersección de A y B no existe:

A \cap B = \{ x , \; x \in R : \quad x < 4 \; \land \; 9 < x \}

porque A y B no tienen puntos en común.

A \cap B = \varnothing

Definido el conjunto C:

C = \{x , \; x \in R : \quad -3 < x < 15 \}

Es decir, que el conjunto C toma valores entre -3 y 15, siempre siendo x un número real.

El conjunto intersección de A y C es:

A \cap C = \{x , \; x \in R : \quad -3 < x < 4 \}

El conjunto intersección es aquel que toma los valores en c

ecuaciones

Identidad o igualdad absoluta.

Es un enunciado que compara dos expresiones matemáticas con el signo = y es verdadero para todos los valores de las variables del conjunto referencial que corresponda ej:

2.5 = 10

3.2 = 6

Ecuaciones.

Una ecuación o igualdad condicional es verdadera solo para algún o algunos valores de las variables del conjunto referencial que corresponda Ej:

x - 9 = 2
x = 2+9
x = 11

Propiedades que deben cumplir las igualdades.

1) ∀ x, y € R(x=y) ≡ (y=x)
2) ∀ x, y € R ^ ∀ c € R, (x=y) ≡ (x+c = y+c)
3) ∀ x, y € R ^ ∀ c € R, (x=y) ≡ (x.c = y.c)
4) ∀ x, y € R -{0}, (x=y) ≡ (xⁿ=yⁿ), h € Z
5) ∀ x, y € R, (xy=0) ≡ (x=0 v y=0)

Ecuaciones lineales

P(x) ax + b = 0
3x + 2 = 8
3x = 8 - 2
3x = 6
x = 6/3
x = 2 R//
Ap(x) = {2}

P(x) : 7x - 5 = 4x + 7
7x- 4x = 7 + 5
3x = 12
x = 12/3
x = 4 R//
Ap(x) = {4}

Ecuaciones Cuadráticas o de 2do. Grado

Es aquella que puede representarse con un predicado de la forma P(x): ax² + bx + c = 0 € R ^ a ‡ 0.
Formas:
1) Factorización
2) Fórmula General

EJERCICIOS:

por factorización
P(x): x² + 5x -6 = 0
(x+6) (x-1) = 0
x+6=0 v x-1= 0
x= -6 x=1 R//

Comprobación
reemplazamos los 2 resultados en el ejercicio asi:
x² + 5x -6 = 0
(-6)² + 5(-6) -6 = 0
36 - 30 - 6= 0
36 - 36 = 0
0 = 0 R//

(1)² + 5(1) - 6 = 0
1 + 5 - 6 = 0
6 - 6 = 0
0 = 0 R//

Método Aspe
x² + 5x - 6 = 0
↓ ↓
x 6 = 6x
x -1 = -x
▬
5x

DISCRIMINANTE.

Fórmula general

16x² - 24x + 9 = 0
a = 16
b = -24
c = 9

⌂ = b² - 4ac
⌂ = (-24)² - 4(16) (9)
⌂ = 576 - 576
⌂ = 0

$X_1,_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

x = - (-24) ± √(-24)² - 4(16)(9)
________________________
2(16)

x= 24± √576-576
_____________
32

x= 24±√0

x =24/32

x = 3/4 R//

INECUACIONES O DESIGUALDAD

Es una desigualdad algebraica en la que sus 2 miembros aparecen ligados por los signos.

2x + 1 > 7
2x > -1 +7
2x > 6
x > 6/2
x > 3

gráfica

-∞____________________________________(////////// ∞ +
' ' ' ' ' ' '
-3 -2 -1 0 1 2 3

intervalo
(3, + ∞)

comprobación
2(4) + 1 > 7
9 > 7 se cumple

VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número A se escribe │a│, es al mismo número A cuando es positivo o 0,
y opuesto de a

│a│ = { -a si a < 0 a si a > 0

│-5│ = 5
│ 5│ = 5

EJERCICIO

│x│ > 2

x > -2
x < 2
(-2 , 2 )

(_______________________)
' ' ' ' '
-2 -1 0 1 2

Propiedades de los valores absolutos.

* Los números opuestos tiene igual valor absoluto.

│5│ = │-5│ = 5

* El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos
de los factores.

│a.b│ = │a│ . │b│

│5 . (-2)│ = │5│ . │-2│

│-10│ = 5 . 2

10 = 10

* El valor absoluto de una suma es ≤ que la suma de los valores absolutos de sus
sumandos.

│a+b│ ≤ │a│ + │b│

│5 + (-2)│ ≤ │5│ + │-2│

│3│ ≤ 5 + 2

3 ≤ 7

MATEMATICAS PARA SISTEMA

sábado, 13 de junio de 2015

NÚMEROS REALES

Propiedades de las proporciones

Los 10 casos de factorizacion

Intervalo abierto[editar]

Intervalo cerrado[editar]

Intervalo infinito[editar]

Operaciones con intervalos[editar]

Identidad o igualdad absoluta.

Ecuaciones.

Propiedades que deben cumplir las igualdades.

Ecuaciones lineales

Ecuaciones Cuadráticas o de 2do. Grado

DISCRIMINANTE.

INECUACIONES O DESIGUALDAD

VALOR ABSOLUTO

Propiedades de los valores absolutos.