El origen de las matrices es muy antiguo. Los cuadrados latinos y los cuadrados mágicos se estudiaron desde hace mucho tiempo. Un cuadrado mágico, 3 por 3, se registra en la literatura china hacia el 650 a. C.2
Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un importante texto matemático chino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C.,Nueve capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del método de matrices para resolver unsistema de ecuaciones simultáneas.3 En el capítulo séptimo, "Ni mucho ni poco", el concepto de determinante apareció por primera vez, dos mil años antes de su publicación por el matemático japonés Seki Kōwa en 1683 y el matemáticoalemán Gottfried Leibniz en 1693.
Los "cuadrados mágicos" eran conocidos por los matemáticos árabes, posiblemente desde comienzos del siglo VII, quienes a su vez pudieron tomarlos de los matemáticos y astrónomos de la India, junto con otros aspectos de las matemáticas combinatorias. Todo esto sugiere que la idea provino de China. Los primeros "cuadrados mágicos" de orden 5 y 6 aparecieron en Bagdad en el 983, en la Enciclopedia de la Hermandad de Pureza (Rasa'il Ihkwan al-Safa).2
Después del desarrollo de la teoría de determinantes por Seki Kowa y Leibniz para facilitar la resolución de ecuaciones lineales, a finales del siglo XVII, Cramerpresentó en 1750 la ahora denominada regla de Cramer. Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan desarrollaron la eliminación de Gauss-Jordan en el siglo XIX.
Fue James Joseph Sylvester quien utilizó por primera vez el término « matriz » en 1848/1850.
En 1853, Hamilton hizo algunos aportes a la teoría de matrices. Cayley introdujo en 1858 la notación matricial, como forma abreviada de escribir un sistema de mecuaciones lineales con n incógnitas.
Cayley, Hamilton, Hermann Grassmann, Frobenius, Olga Taussky-Todd y John von Neumann cuentan entre los matemáticos famosos que trabajaron sobre la teoría de las matrices. En 1925, Werner Heisenberg redescubre el cálculo matricial fundando una primera formulación de lo que iba a pasar a ser la mecánica cuántica. Se le considera a este respecto como uno de los padres de la mecánica cuántica.
CLASES DE MATRICES
DEFINICIÓN DE MATRICES.-Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas.
Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales.
Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ... y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, ... Un elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe aij . Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz : A = (aij).
Cuando nos referimos indistíntamente a filas o columnas hablamos de lineas.El número total de elementos de una matriz Am×n es m·nEn matemáticas, tanto las Listas como las Tablas reciben el nombre genérico de matrices.
Una lista numérica es un conjunto de números dispuestos uno a continuación del otro.
CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES DE LAS MATRICES.
Triangular superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
Triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros
Diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.
En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.
Escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
Identidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
Potencia
Se llama potencia k-ésima de una matriz cuadrada A, donde k OE Õ, un entero positivo, al producto de A por sí misma, repetido k veces.
Ak =A⋅A⋅A⋅......k veces ...... ⋅A
Se conviene en que:
A- k = (A- 1) k " k OE Õ
A0 = I
Periódica
Se llama potencia k-ésima de una matriz cuadrada A, donde k OE Õ, un entero positivo, al producto de A por sí misma, repetido k veces.
Ak =A⋅A⋅A⋅......k veces ...... ⋅A
Se conviene en que:
A- k = (A- 1) k " k OE Õ
A0 = I
Periódica
si
. Si p es el menor número natural que satisface 
, entonces decimos que A es una matriz periódica de período
Nilpotente
Si A es una matriz cuadrada y Ak = 0 para algún número natural k, se dice que A es nilpotente. Si k es tal que Ak −1 ≠ 0 y Ak = 0, se dice que A es nilpotente de orden k.
Idempotente
Una matriz, A, es idempotente si:
A2 = A.
Involutiva
Una matriz, A, es involutiva si:
A2 = I.
Traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas
Si A es una matriz cuadrada y Ak = 0 para algún número natural k, se dice que A es nilpotente. Si k es tal que Ak −1 ≠ 0 y Ak = 0, se dice que A es nilpotente de orden k.
Idempotente
Una matriz, A, es idempotente si:
A2 = A.
Involutiva
Una matriz, A, es involutiva si:
A2 = I.
Traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α ·A)t = α· At
(A · B)t = Bt · AtSimétrica
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = At.Antisimetrica
Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = -At.
Compleja
Sus elementos son números complejos aij e ¬
Conjugada
Matriz conjugada de una matriz A Aquella que se obtiene sustituyendo cada elemento por su complejo conjugado (igual parte real, pero la parte imaginaria cambiada de signo)Hermitiana o hermitica
Una matriz hermitiana (o hermítica) es una matriz cuadrada de elementoscomplejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuestaconjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j:
(A + B)t = At + Bt
(α ·A)t = α· At
(A · B)t = Bt · AtSimétrica
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = At.Antisimetrica
Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = -At.
Compleja
Sus elementos son números complejos aij e ¬
Conjugada
Matriz conjugada de una matriz A Aquella que se obtiene sustituyendo cada elemento por su complejo conjugado (igual parte real, pero la parte imaginaria cambiada de signo)Hermitiana o hermitica
Una matriz hermitiana (o hermítica) es una matriz cuadrada de elementoscomplejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuestaconjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j:
o, escrita con la traspuesta conjugada A*:
Por ejemplo,
es una matriz hermítica.
Antihermitiana
una Matriz antihermitiana es una matriz cuadrada cuya traspuesta conjugada es menos la matriz. Esto es si satisface a la relación:
A * = -A
Antihermitiana
una Matriz antihermitiana es una matriz cuadrada cuya traspuesta conjugada es menos la matriz. Esto es si satisface a la relación:
A * = -A
o en su forma componente, si (A = ai,j):
Para todas las i y las j.
Ortogonal
Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible : A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.
Dos matrices son iguales si tienen las mismas dimensiones y cada elemento de la primera es igual al elemento de la segunda que ocupa su misma posición. Es decir:
Mm,n 
Ejemplo:
3. Tipos de Matrices.
1) Matriz fila: Es una matriz de dimensión 1 x n Ejemplo: 
M1,3
M1,3
2) Matriz columna: Es una matriz de dimensión m x 1 Ejemplo: 
3) Matriz cuadrada: Es aquella que tiene igual no de filas que de columnas. En una matriz cuadrada, los elementos 
, con 
forman la diagonal principal mientras que se llama diagonal secundaria a los elementos 
, que verifican que 
.
forman la diagonal principal mientras que se llama diagonal secundaria a los elementos 
4) Matriz triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Una matriz triangular puede ser de dos tipos:
a) Triangular superior: Si los elementos nulos están debajo de la diagonal principal: 
Ejemplo:
b) Triangular inferior: Si los elementos nulos están encima de la diagonal principal: 
Ejemplo:
Ejemplo:
6) Matriz unidad o identidad: Es una matriz diagonal que tiene todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1.
Ejemplo:
7) Matriz Nula: Es la matriz que tiene todos los elementos iguales a 0. Es decir,
8) Matriz Traspuesta: de una matriz 
es la matriz que se representa como 
que resulta al convertir ordenadamente las filas de A en columnas y las columnas en filas.
es la matriz que se representa como que resulta al convertir ordenadamente las filas de A en columnas y las columnas en filas.
Ejemplo:
9) Matriz simétrica: Es toda matriz cuadrada que coincide con su traspuesta, es decir, 
, o también, 
, o también,
Ejemplo:
, es decir: 
Ejemplo: 
4. Operaciones con Matrices.
4.1. Suma de matrices.
4.1.1. Definición.
Sean 
Mm,n dos matrices dimensión m x n. La suma de A con B es otra matriz C también de dimensión m x n definida por: 
Mm,n dos matrices dimensión m x n. La suma de A con B es otra matriz C también de dimensión m x n definida por:
Ejemplo: 
4.1.2. Propiedades de la suma de matrices.
q Propiedad Conmutativa: 
Mm,n 
Mm,n
q Propiedad Asociativa: 
Mm,n 
Mm,n
q Elemento neutro de la suma: 
Mm,n ,
Mm,n: 
; 
Mm,n , Mm,n: ;
q Elemento opuesto para la suma: 
Mm,n , 
Mm,n : 
.
Mm,n , Mm,n : .
es la matriz opuesta de A, es decir, la matriz formada por los opuestos de los elementos de A, en el mismo orden.
A la vista de estas propiedades, podemos decir que Mm,n con la operación interna suma tiene estructura de grupo abeliano o conmutativo.
4.2. Diferencia de dos matrices.
4.2.1. Definición.
Sean 
Mm,n dos matrices de la misma dimensión. Se define la matriz 
como la suma de 
con la opuesta de 
. Es decir,
Mm,n dos matrices de la misma dimensión. Se define la matriz como la suma de con la opuesta de . Es decir,
4.3. Producto de un número real por una matriz.
4.3.1. Definición.
Sea 
Mm,n y 
por la matriz 
como la matriz m x n que resulta de multiplicar cada elemento de la matriz 
por dicho no real. Es decir:
Mm,n y por la matriz como la matriz m x n que resulta de multiplicar cada elemento de la matriz por dicho no real. Es decir:
Ejemplo: 
4.3.2. Propiedades del producto de un número real por una matriz.
q Distributiva del producto respecto de la suma de matrices.
Mm,n
q Distributiva del producto respecto de la suma de no reales.
Mm,n 
q Ley de asociatividad entre números y matrices.
Mm,n 
q Ley de neutralidad del producto externo. 
Mm,n 
Mm,n
Como consecuencia de todas las propiedades que verifican la suma de matrices y el producto por un no real, podemos decir que: (Mm,n , +, ·R) es un espacio vectorial.
4.4. Producto de matrices.
4.4.1. Definición.
Dadas las matrices A de dimensión m x n y B de dimensión n x p se define la matriz producto C de dimensión m x p como aquella cuyo elemento 
se obtiene multiplicando la i-esima fila de la matriz A por la k-esima columna de la matriz B. Es decir:
se obtiene multiplicando la i-esima fila de la matriz A por la k-esima columna de la matriz B. Es decir:
, 
Para poder multiplicar dos matrices tiene que verificarse que el no de columnas de la primera coincida con el no de filas de la segunda.
Ejemplo:
Es decir, la matriz C quedaría:
4.4.2. Propiedades del producto de matrices.
q Propiedad asociativa:
Mm,n , 
q Elemento neutro para el producto:
Mn,p, 
q Propiedad distributiva del producto de matrices respecto de la suma:
Mn,p , 
Además, hay algunas propiedades que estamos acostumbrados a que se cumplan en las operaciones que hemos visto, pero que en el producto de matrices NO SE CUMPLEN y son:
Ø Propiedad conmutativa:
Ø Dada una matriz 
Mn, matriz cuadrada de orden n, no siempre existe una matriz 
Mn tal que:
Es decir, no siempre existe el elemento inverso.
Mn, matriz cuadrada de orden n, no siempre existe una matrizMn tal que: Es decir, no siempre existe el elemento inverso.
5. Matriz regular y matriz singular.
Una matriz cuadrada que admite matriz inversa con la operación producto se llama Matriz regular. Si no admite matriz inversa, se llama Matriz singular.
6. Propiedades de la trasposición de matrices con la suma y el producto.
Las siguientes propiedades se cumplen en la trasposición de matrices, con respecto a las operaciones de matrices:
1- Para la suma: 
Mm,n , 
Mm,n ,
2- Para el producto por un escalar: 
Mm,n 
Mm,n
3- Para el producto de matrices:
Mm,n , 
Mn,p , 
Mn,p ,
Si A es una matriz de orden m x n, 
Se puede considerar que cada una de sus filas es un vector de Rn y cada una de sus columnas un vector de Rm . Al no máximo de vectores filas que son linealmente independientes se denomina rango por filas y al número máximo de vectores columna que son linealmente independientes se denomina rango por columnas.
Ambos números coinciden. Por ello, podemos dar la siguiente definición:
Se llama rango o característica de una matriz al no de líneas (filas o columnas) que son linealmente independientes. El rango de la matriz A se designa por rg(A).
Ejemplo:
A tiene rango dos, ya que las dos primeras filas son independientes y la tercera es combinación lineal de las otras dos.
8. Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss.
Hay una serie de transformaciones que no afectan a la dependencia o independencia lineal de un sistema de vectores. Estas mismas transformaciones dejan también invariante el rango de una matriz (en realidad, una matriz no es más que un conjunto de vectores) y son las siguientes:
1- Permutar dos líneas paralelas de la matriz (filas o columnas).
2- Multiplicar o dividir todos los elementos de una fila por un no real distinto de 0.
3- Sumar o restar a una línea otra paralela a ella.
4- Suprimir líneas cuyos elementos sean todos ceros.
5- Suprimir una línea proporcional a otra paralela a ella.
6- Suprimir una línea (fila o columna) que sea combinación lineal de otras paralelas a ella.
Basándose en estas transformaciones elementales, estudiaremos a continuación el método de Gauss para el cálculo del rango de una matriz.
Describiendo el método por filas, hay m -1 etapas siendo m el no de filas.
9. Método de Gauss para el cálculo del rango de una matriz.
q En una etapa i cualquiera, se deja fija la fila i.
q Mediante transformaciones elementales se hacen cero todos los elementos que estén por debajo de 
en su misma columna.
q Si el elemento 
fuera cero, intercambiar previamente esa fila con alguna otra por debajo de ella, y si no es posible, se cambia la columna con alguna columna de la derecha, hasta conseguir que 
fuera cero, intercambiar previamente esa fila con alguna otra por debajo de ella, y si no es posible, se cambia la columna con alguna columna de la derecha, hasta conseguir que
sea distinto de 0.
q El rango es el no de filas con algún elemento no nulo.
Ejemplo:
Hallaremos el rango de la matriz 
por el método de Gauss.
por el método de Gauss.
Luego la matriz A tiene rango 2.
DETERMINANTES
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
Para una matriz cuadrada A[n,n], el determinante de A, abreviado det(A), es un escalar definido como la suma de n! términos involucrando el producto de n elementos de la matriz, cadauno proveniente exactamente de una fila y columna diferente. Además, cada término de la suma está multiplicado por -1 ó +1 dependiendo del número de permutaciones del orden de las columnas que contenga.
Propiedades
det(AB) = det(A)det(B).
det(AT) = det(A).
det(AH) = conjugado(det(A)), en donde AH es la transpuesta conjugada (Hermitian) de A.
det(cA) = cn det(A).
Intercambiando cualquier par de columnas (filas) de una matriz se multiplica su determinante por -1.
Multiplicando cualquier columna (fila) de una matriz por c multiplica su determinante por c.
Agregando cualquier múltiplo de una columna (fila) de una matriz a otra no altera su determinante.
det(A) <> 0 si y sólo si A es no singular.
Determinante de Matrices Simples
det([a,b;c,d]) = ad-bc.
det([a,b,c;d,e,f;g,h,i]) = aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.
El determinante de una matriz diagonal (pura, superior o inferior) es el producto de los elementos de su diagonal.
Determinante de Bloques de Matrices
B[m,n], C[m,n]: det([A,B;CT,D]) = det([D,CT;B,A])= det(A) det(D-CTA-1B).
B[m,n], C[m,n]: det([I,B;CT,I]) = det(I-BTC) = det(I-BCT) = det(I-CTB)= det(I-CBT).
A[m,m], D[n,n]: det([A,B;0,D]) = det(A) det(D).
A[n,n], B[n,n], C[n,n], D[n,n]; CD=DC: det([A,B;C,D]) = det(AD-BC).
A[n,n], B[n,n], C[n,n], D[n,n]; AC=CA: det([A,B;C,D]) = det(AD-CB).
A[n,n], B[n,n], C[n,n], D[n,n]; AB=BA: det([A,B;C,D]) = det(DA-CB).
A[n,n], B[n,n], C[n,n], D[n,n]; BD=DB: det([A,B;C,D]) = det(DA-BC).
MÉTODO PARA ENCONTRAR LA DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
Determinante de una matriz de orden 2x2
Si 
El determinante de A (Se suele escribir
) es:
El determinante de A (Se suele escribir
) es:
Ejemplo:
Determinante de una matriz de orden 3x3
Si 
Para calcular un determinante de una matriz 3×3, en principio hay que hacer todas esas cuentas… Existe la llamada “Regla de Sarrus” que permite acordarse fácilmente del orden de operaciones a realizar.
Pruebe de calcular un determinante por su cuenta y luego vaya a nuestra página que le permitirá verificar el cálculo del determinante
Para calcular determinantes de orden mayor que 3×3, debemos trabajar con adjuntos.
Algunas cosas a tener en cuenta:
- Sólo calculamos determinantes de matrices cuadradas.
- Los determinantes verifican muchas propiedades importantes, que facilitan el cálculo.
