RELACIONES Y FUNCIONES

RESEÑA HISTÓRICA 

El concepto de función como un objeto matemático independiente, susceptible de ser estudiado por sí solo, no apareció hasta los inicios del cálculo en el establecieron la idea de función como dependencia entre dos cantidades variables. Leibniz en particular acuñó los términos «función», «variable», «constante» y «parámetro». La notación f(x) fue utilizada por primera vez por A.C. Clairaut, y por Leonhard Euler en su obra Commentarii de San petersburgo en 1736.^2 3 4

Inicialmente, una función se identificaba a efectos prácticos con una expresión analítica que permitía calcular sus valores. Sin embargo, esta definición tenía algunas limitaciones: expresiones distintas pueden arrojar los mismos valores, y no todas las «dependencias» entre dos cantidades pueden expresarse de esta manera. En 1837 Dirichlet propuso la definición moderna de función numérica como una correspondencia cualquiera entre dos conjuntos de números, que asocia a cada número en el primer conjunto un único número del segundo.

La intuición sobre el concepto de función también evolucionó. Inicialmente la dependencia entre dos cantidades se imaginaba como un proceso físico, de modo que su expresión algebraica capturaba la ley física que correspondía a este. La tendencia a una mayor abstracción se vio reforzada a medida que se encontraron ejemplos de funciones sin expresión analítica o representación geométrica sencillas, o sin relación con ningún fenómeno natural; y por los ejemplos «patológicos» como funciones continuas sin derivada en ningún punto.

Durante el siglo XIX Julius Wilhelm Richard Dedekind, Karl Weierstrass, Georg Cantor, partiendo de un estudio profundo de los números reales, desarrollaron la teoría de funciones, siendo esta teoría independiente del sistema de numeración empleado.^{[cita requerida]} Con el desarrollo de lateoría de conjuntos, en los siglos XIX y XX surgió la definición actual de función, como una correspondencia entre dos conjuntos de objetos cualesquiera, no necesariamente numéricos.⁵ También se asoció con otros conceptos vinculados como el de relación binaria.

PAR ORDENADO 

En matemáticas, un par ordenado es una pareja de objetos matemáticos, en la que se distingue un primer elemento y un segundo elemento. El par ordenado cuyo primer elemento es a y cuyo segundo elemento es b se denota como (a, b).

Un par ordenado (a, b) no es el conjunto que contiene a a y b, denotado por {a, b}. Un conjunto está definido únicamente por sus elementos, mientras que en un par ordenado el orden de estos es también parte de su definición. Por ejemplo, los conjuntos {0, 1} y {1, 0} son idénticos, pero los pares ordenados (0, 1) y (1, 0) son distintos.

Los pares ordenados también se denominan 2-tuplas o vectores 2-dimensionales. La noción de una colección finita de objetos ordenada puede generalizarse a más de dos objetos, dando lugar al concepto de n-tupla.

El producto cartesiano de conjuntos, las relaciones binarias, las coordenadas cartesianas, las fracciones y las funciones se definen en términos de pares ordenados.

PRODUCTOS CARTESIANOS DE CONJUNTOS 

En matemáticas, el producto cartesiano de dos conjuntos es una operación, que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse tomando el primer elemento del par ordenado del primer conjunto y el segundo elemento del par ordenado del segundo conjunto.

Por ejemplo, dados los conjuntos:

y

su producto cartesiano es:

que se representa:

El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya formulación de la geometría analítica dio origen a este concepto.¹

RELACIONES BINARIAS 

En matemáticas, una relación binaria es una relación matemática  definida entre los elementos de dos conjuntos  y . Una relación  de  en  se puede representar mediante pares ordenados  para los cuales se cumple una propiedad , de forma que , y se anota:

Que se lee: la relación binaria  es el conjunto de pares ordenados  tales que se vincula el primer elemento  propio del conjunto  con el segundo elemento  propio del conjunto , y para los cuales se cumple la propiedad  que los relaciona.

Las proposiciones siguientes son correctas para representar la relación binaria  entre los elementos  y :

También, según la notación polaca puede expresarse:

GRÁFICAS DE RELACIONES DE R EN R  

FUNCIONES DE VARIABLES REAL 

DEFINICIÓN 

La variable real como lo dice su nombre únicamente involucra números reales. Como aclaración de esto, el cálculo de variable real es el más común de todos y es el que aprendemos en secundaria y bachillerato (derivadas, integrales, etc). 

Recuerda la clasificación de los números: 

-Naturales, que sirven para contar. 
-Enteros, que incluyen a los negativos y el cero. 
-Racionales, que se pueden expresar como el cociente de dos enteros. 
-Irracionales, que NO pueden expresarse de la manera anterior y junto con los racionales forman los números reales. 
-Reales.- Irracionales más racionales. 
-Imaginarios, que se conforman por el producto de cualquier número real por i, donde i es tal que cumple i al cuadrado = -1. 
-Complejos, que se conforman de los reales mas los imaginarios. 

En el curso de tus estudios encontrarás que hay otros tipos de variables: 

-Vectoriales.- Funciones de un vector, por ejemplo a=(1,2,pi,-3/4) 
-Complejas.-Funciones de variable compleja, f(z), por ejemplo f(2+5i) 

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN 

Función: Una función entre dos conjuntos numéricos es una correspondencia tal que a cada número del conjunto de partida le corresponde una sola imagen del conjunto de llegada. Así, en la figura siguiente podemos observar gráficamente el comportamiento de la función raíz cuadrada de un número. Del lado izquierdo observamos el conjunto de partida (representado por los valores que le asignemos a la variable independiente “X”), del lado derecho observamos el conjunto de llegada (representado por los valores que toma la variable dependiente “Y” una vez que se extrae la raíz cuadrada del valor que se le asignó a “X”) y sobre la flecha está indicada la relación matemática (función) que transforma los valores del conjunto de partida en los valores del conjunto de llegada (imagen). Dominio de una función : Es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Los valores que le damos a “X” ( variable independiente) forman el conjunto de partida. Gráficamente lo miramos en el eje horizontal ( abscisas), leyendo como escribimos de izquierda a derecha. El dominio de una función está formado por aquellos valores de “X” (números reales) para los que se puede calcular la imagen f(x

En la gráfica anterior notamos que si le asignamos los valores “-2” y “-1” a la “X” estos no tienen imagen, por lo tanto no pertenecen al dominio de la función estudiada. Esto es lógico ya que los números negativos no tienen raíces reales sino raíces imaginarias. Rango de una función: Es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función "Y" (variable dependiente), por eso se denomina “f(x)”, su valor depende del valor que le demos a "X". Gráficamente lo miramos en el eje vertical (ordenadas), leyendo de abajo a arriba. El Rango de una función es el conjunto formado por las imagenes f(x) de los valores de “X” que pertenecen al Dominio de dicha función. La manera más efectiva para determinar el Rango consiste en graficar la función y ver los valores que toma “Y” de abajo hacia arriba. 

TIPOS DE FUNCIONES 

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES 

na función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuando cada uno de los elementos del primer conjunto se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto. Estamos en presencia de una función cuando de cada elemento del primer conjunto solamente sale una única flecha.

No estamos en presencia de una función cuando:

• De algún elemento del conjunto de partida no sale ninguna flecha.
• De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más flechas.

Podemos imaginarnos la función como una máquina a la que se le suministra unos datos y que obtiene un valor.

A veces esta 'máquina' no funciona con determinados valores. Al conjunto de valores de la variable para los que la función existe (para los que la 'máquina' funciona) se llama dominio de definición de la función.

Una función obtiene un valor, pero esto no quiere decir que se obtengan todos los valores que se nos antojen. El conjunto de valores que se obtienen a partir del conjunto de valores del dominio de definición se llama recorrido de la función.

CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES

• Función Inyectiva:

Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la función, las y no se repiten.

Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.

Ejemplo:

• Función Sobreyectiva:

Sea f una función de A en B , f es una función epiyectiva (tambien llamada sobreyectiva) , si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A , bajo f .

A elementos diferentes en un conjunto de partida le corresponden elementos iguales en un conjunto de llegada. Es decir, si todo elemento R es imagen de algún elemento X del dominio.

Ejemplo:

A = { a , e , i , o , u }

B = { 1 , 3 , 5 , 7 }

f = { ( a , 1 ) , ( e , 7 ) , ( i , 3 ) , ( o , 5 ) , ( u , 7 ) }

Simbólicamente:

f: A B es biyectiva Û f es inyectiva y f es sobreyectiva

Ejemplo:

• Función Biyectiva:

Sea f una función de A en B , f es una función biyectiva , si y sólo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez .

Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A, diremos que la función es Inyectiva. En cambio, la función es Sobreyectiva cuando todo elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Cuando se cumplen simultáneamente las dos condiciones tenemos una función BIYECTIVA.

Ejemplo:

A = { a , e , i , o , u }

B = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 }

f = { ( a , 5 ) , ( e , 1 ) , ( i , 9 ) , ( o , 3 ) , ( u , 7 ) }

Teorema:

Si f es biyectiva , entonces su inversa f - 1 es también una función y además biyectiva.

Ejemplo:

• Función Par:

Una función f: R!R es par si se verifica que

" x " R vale f(-x) = f(x)

Si f: R!R es una función par, entonces su gráfico es lateralmente simétrico respecto del eje vertical. “Simetría axial respecto de un eje o recta” (el dominio tiene que ser un conjunto simetrico respecto al origen)

Se dice que una función es par si f(x) = f(-x)

Ejemplo: La función y = x2 es par pues se obtienen los mismos valores de y independientemente del signo de x.

La función f(x)=x2 es par ya que f(-x) = (-x)2 =x2

• Función Impar:

Una función f: R!R es impar si se verifica que

" x " R vale f(-x) = -f(x)

Si f: R!R es una función impar, entonces su gráfico es simétrico respecto del origen de coordenadas. “Simetría central respecto de un punto”. (el dominio tiene que ser un conjunto simetrico respecto al origen)

En el caso de que f(x) = -f(-x) se dice que la función es impar. Muchas funciones reales no son pares ni impares.

Ejemplo: La función y(x)=x es impar ya que: f(-x) = -x pero como f(x) = x entonces: f(-x) = - f(x).

• Función Creciente:

Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y x2, con la condición x1 £ x2, se verifica que

f( x1 ) < f( x2 ).

Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2).

Una función f se dice que es creciente si al considerar dos puntos de su gráfica, (x1, f(x1) ) y ( x2, f(x2) ) con

x1	<	x2	Se tiene que	f(x1)	<	f(x2).
Prevalece la relación <

Una función es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto

f(x) £ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y

f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a, a + e).

Ejemplo:  

  

•  Función Decreciente:

Una función f se dice que es decreciente si al considerar dos puntos de su gráfica, (x1, f(x1) ) y ( x2, f(x2) ) con

x1	<	x2	Se tiene que	f(x1)	>	f(x2).
Cambia la relación de < a >

Ejemplo:

Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x1 y x2, que cumplan x1 £ x2, entonces f(x1 ) ³ f(x2 ).

Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1 ) > f(x2 ), la función se dice estrictamente decreciente.

 Análogamente, una función es decreciente en un punto a si existe un intervalo abierto (a - e, a + e) en el que

f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y

f(x) £ f(a) si x pertenece a (a, a + e).

 La definición de función estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin más que sustituir el símbolo " por < y el " por el >.

Es preciso diferenciar el significado de función creciente o decreciente en un intervalo del de función creciente o decreciente en un punto.

•   Función Periódica:

Una función es periódica cuando la función 'repite' los mismos valores. Dicho matemáticamente: f(x+T) = f(x)

La función sen(x) es periódica (periodo 360º) pues sen(x) = sen (x + 360)

La aproximación de una función periódica mediante una suma de armónicos es un problema importante en las Matemáticas, la Física y las Ingenierías, baste citar todos los fenómenos vibratorios, ondulatorios que son fundamento de la acústica, de las telecomunicaciones, etc.

ANÁLISIS DE FOURIER DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA

Toda función f(t) periódica de periodo P, se puede representar en forma de una suma infinita de funciones armónicas, es decir,

Donde el periodo P=2 /w, y a0, a1, ...ai ... y b1, b2, .... bi .... son los denominados coeficientes de Fourier.

Toda función periódica de periodo P, se puede transformar en una función periódica de periodo 2 , mediante un simple cambio de escala en el eje t. Escribiendo x= at, tendremos el periodo P de t convertido en el periodo 2 de x, y la función f(t) convertida en

Definida en el intervalo que va de - a + . La serie se expresa en la forma más simple

Donde

Si la función g(x) tiene simetría, algunos de los coeficientes resultan nulos.

• Si g(x) es una función par, g(x)=g(-x), los términos bi son nulos
• Si g(x) es impar g(x)=-g(-x), los coeficientes ai son nulos
• Si g(x) es alternada, g(x+ )=-g(-x), la serie solamente consta de términos armónicos impares.

Ejemplo:

DISCUCION DE UNA FUNCION 

¡Entonces ahora  ya  se todo lo relacionado con la construcción de  funciones con variables!   ¡No es tan difícil!

Maestro: Bueno, en realidad lo aprendido hasta el momento  es sobre funciones simples de una sola operación. Estas son solo parte de un contexto. El próximo tipo de función que vamos a estudiar es la función múltiple, o de varios pasos.   ¿Me  puede dar un ejemplo de este tipo de función?

Estudiante: Veamos. ¿Qué le parece si tomamos un número, le sumamos 1 y luego lo multiplicamos por 3?

Maestro:   Correcto.   ¿Como lo escribiría usando las variables X y Y?

Estudiante: ¿Sería  x + 1 * 3 = y?

Maestro: Más o menos. Debemos tener cuidado para que la persona que use la función sepa que primero debe sumar y luego multiplicar.  Hace mucho tiempo (en el siglo XV, a medida  que el álgebra se usaba más y mas),  los matemáticos se dieron cuenta de que para  evitar confusión era indispensable tener unas reglas acerca de cómo escribir funciones de más de una operación,.  Se desarrolló entonces un estándar para el orden de las operaciones, el cual se sigue utilizando hoy en día.

• Primero se ponen los paréntesis.
• Enseguida vienen  los exponentes.
• Luego siguen la multiplicación y la división,  de izquierda a derecha.
• Por último vienen  las sumas y las restas, y se calculan  de izquierda a derecha.

Para memorizar este orden más fácilmente se puede abreviar con el acrónimo PEMDSR: (P)aréntisis, (E)xponentes, (M)ultiplicación, (D)ivisión, (S)uma, (R)esta

Estudiante: Así que para mayor claridad la función se escribiría:

y = (x + 1) * 3

TÉCNICAS DE GRAFICACION 

PROCESO DE GRAFICACION DE UNA FUNCION 

El Dominio de definición D de una función es el subconjunto de X que tienen imagen en Y:

Sin pérdida de la generalidad, consideramos, tanto el conjunto X como Y sea el de los números reales R, siendo X un intervalo o la unión de varios intervalos, podemos diferenciándose los siguientes casos:

El dominio un intervalo abierto: (a,b). Se puede expresar:

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real y a sea menor que x y x menor de b, tal que existe y número real é y= f(x).

La forma de representar el intervalo abierto, da lugar a la expresión:

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real en el intervalo abierto (a,b) , tal que existe y número real é y= f(x).

Si el dominio un intervalo semiabierto: (a,b]. Tenemos la expresión:

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real y a sea menor o igual que x y x menor de b, tal que existe y número real éy= f(x).

Tomando la forma de representar un intervalo semiabierto, tenemos la expresión:

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real en el intervalo semiabierto [a,b) , tal que existe y número real é y= f(x).

Si el dominio es el intervalo semiabierto: [a,b). Tenemos la expresión:

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real y a sea menor que x y x menor o igual que b, tal que existe y número real éy= f(x).

Tomando la forma de representar un intervalo semiabierto, tenemos la expresión:

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real en el intervalo semiabierto [a,b) , tal que existe y número real é y= f(x).

Si el dominio un intervalo cerrado: [a,b] la expresión resultante es:

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real y a sea menor o igual que x y x menor o igual que b, tal que existe y número real é y= f(x).

Tomando la forma de representar un intervalo cerrado, tenemos que:

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real en el intervalo cerrado [a,b] , tal que existe y número real é y= f(x).

En estos ejemplos hemos podido ver, las distintas formas de representar los distintos tipos de intervalos, tanto abiertos semiabiertos o cerrados, en una expresión o en una gráfica.

TRAZADAS DE GRAFICAS ESPECIALES 

OPERACIONES CON FUNCIONES 

IGUALDAD DE FUNCIONES 

En el campo de la matemática, una igualdad es una equivalencia de dos expresiones o cantidades. Estos factores, para ser iguales, deben tener el mismo valor. Por ejemplo: A+B = C+D se cumple si A=2, B=3, C=4 y D=1, entre otros casos. De este modo, 2+3 es igual a 4+1. Ambas expresiones tienen el mismo valor por resultado (5).

Se conoce como igualdad social al contexto o situación donde las personas tienen los mismos derechos y las mismas oportunidades en un determinado aspecto o a nivel general. La igualdad de sexo o igualdad de género hace

SUMA DE FUNCIONES 

DIFERENCIA DE FUNCIONES 

Sea una función y = f(x). Dado un punto de abscisa x, se le dota de un pequeñísimo incremento (aumento) h y se encuentra un punto x + h. Se traza la tangente a la curva en el punto de abscisa x, y desde x + h se levanta una paralela al eje de ordenadas hasta cortar a la curva y a la tangente.                                          Diferencial de una función en un punto Se define diferencial de una función y = f(x) en un punto x, y se simboliza por dy ó df(x), al producto f'(x) · h. Por tanto,                                               dy = df(x) = f'(x) · h Propiedades de la diferencial Primera propiedad: La diferencial de una función en un punto depende de dos variables: el punto x elegido y el incremento h que se ha tomado. Segunda propiedad: Al ser dy = f ' (x)·h = , la diferencia de una función en un punto es el incremento  (aumento) de la ordenada de la tangente al aumentar en h un punto de abscisa x. Tercera propiedad: Si se considera la función y = f(x) = x, df(x) = dx = f'(x) · h = 1 · h = h. Así, dx = h y  Cuarta propiedad: cuando h es infinitamente pequeño, el cociente dy es prácticamente igual a cuando h es muy pequeño, con la seguridad de que el error cometido será mínimo. Ejemplos:  Un móvil se mueve según la relación s = 5t2 + t, donde s representa el espacio recorrido medido en metros y t el tiempo medido en segundos. Se quiere saber los metros que recorre el móvil en el tiempo comprendido entre  Resolución: · Diferenciando la expresión s = 5t2 + t,           ds = (10t + 1) · dt · Sustituyendo en la expresión de ds, · En la figura se observa que en realidad recorre algo más de 23,66 metros:                   Se ha cometido un error de 24,18 m - 23,66 m = 52 cm ‚ Calcular 3,052. Resolución: Para encontrar un resultado aproximado de 3,052 se considera la función y = x2. Diferenciando esta función, dy = 2x dx. Por la proximidad de 3,05 a 3 (5 centésimas) se calculará la diferencial en el punto de abscisa x = 3 y se llevará a la expresión de dy. En este caso dx = 3,05 - 3 = 0,05                                      dyx = 3 = 2 · 3 · 0,05 = 0,30 Por tanto, aproximadamente, 3,052 = 9 + 0,30 = 9,30. Si se calcula con exactitud el valor de 3,052 se obtiene 9,3025. Se observa que se ha cometido un error de 9,3025 - 9,30 = 0,0025, ¡25 diezmilésimas!

MULTIPLICACION DE FUNCIONES 

COCIENTE DE FUNCIONES 

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las

funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f )(x) = g[f(x)].

La función ( g o f )(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ».

 

 

Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x).

 FUNCIÓN BIYECTIVA 

En matemáticas, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Formalmente, dada una función :

La función es biyectiva si se cumple la siguiente condición:

Es decir, si para todo  de  se cumple que existe un único  de , tal que la función evaluada en  es igual a .

Dados dos conjuntos  e  finitos, entonces existirá una biyección entre ambos si y sólo si  e  tienen el mismo número de elemento

FUNCIÓN  CRECIENTE Y DECRECIENTE 

Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x₁  y x₂, con la condición x₁ £ x₂, se verifica que

 f( x₁ ) < f( x₂ ).

Se dice estrictamente creciente si de x₁ < x₂ se deduce que f(x₁) < f(x₂).

· Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x₁  y x₂, que cumplan x₁ £ x₂, entonces f(x₁ ) ³ f(x₂ ).

Siempre que de x₁ < x₂ se deduzca f(x₁ ) > f(x₂ ), la función se dice estrictamente decreciente.

FUNC. CREC. Y DECREC. EN PUNTO

· Una función es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto

f(x) £ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y

f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a, a + e).

· Análogamente, una función es decreciente en un punto a si existe un intervalo abierto (a - e, a + e) en el que

f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y

f(x) £ f(a) si x pertenece a (a, a + e).

La definición de función estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin más que sustituir el símbolo £ por < y el ³ por el >.

FUNCION MONOTOMA 

Sea

una función entre dos conjuntos P y Q, donde cada conjunto tiene un orden parcial (los dos se denotarán por ≤). En cálculo se habla de funciones entre subconjuntos de losreales, y el orden ≤ no es otro que el orden usual de la recta real, aunque esto no es esencial para la definición.

La función f es monótona si y sólo si x ≤ y implica f(x) ≤ f(y) (es decir, la función es creciente), o bien x ≤ y implica f(x) ≥ f(y) (es decir, la función es decreciente). En otras palabras, una función es monótona si conserva el orden.

Monotonía en cálculo y análisis[editar]

En cálculo no hay usualmente necesidad de invocar los métodos abstractos de la teoría del orden. Como ya se señaló, las funciones se establecen entre (subconjuntos de) números reales, ordenados de forma natural.

Por la forma de la gráfica de una función monótona en los reales, tales funciones se llaman también monótonamente crecientes (o no decreciente), respectivamente.

Ejemplo gráfico[editar]

A continuación se muestran tres gráficas de funciones cualesquiera. La primera de ellas es una función estrictamente creciente por la izquierda y por la derecha, mientras que es constante en el medio; por lo demás, es creciente pues conserva el orden ascendente durante todo el recorrido de la función. La segunda de ellas es escrictamente decreciente por la izquierda y por la derecha, puesto que conserva el orden descendente durante todo el recorrido de la función. La última de ellas es una función con un recorrido con partes donde la función es creciente y partes donde es decreciente (presenta máximos y mínimos relat

Función monótona creciente.

Función monótona decreciente.

Función no monótona.

FUNCION INVERSA 

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f⁻¹ que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f⁻¹(b) = a.

Veamos un ejemplo a partir de la función f(x) = x + 4

Podemos observar que:

El dominio de f⁻¹ es el recorrido de f.

El recorrido de f⁻¹ es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.