viernes, 14 de agosto de 2015

Números complejos

RESEÑA HISTORICA 
Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa con la notación \scriptstyle \mathbb{C}, siendo \scriptstyle \mathbb{R} el conjunto de los números reales se cumple que \scriptstyle \mathbb{R}\sub\mathbb{C} (\scriptstyle \mathbb{R} está estrictamente contenido en \scriptstyle \mathbb{C}). Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, facilitación de cálculo de integrales, en aerodinámica, hidrodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los imaginarios puros. Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es elteorema fundamental del álgebra — pero que se demuestra aún en un curso de variable compleja —, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.1
REPRESENTACIONES 
Representación binómica[editar]

Un número complejo representado como un punto (en rojo) y un vector de posición (azul) en un diagrama de Argand; a+bi es la expresión binomial del punto.

Un número complejo se representa en forma binomial como:

z = a + bi \,
La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias maneras, como se muestra a continuación:
a = \hbox{Re}(z)=\Re(z)
b = \hbox{Im}(z)=\Im(z)
Representación polar[editar]

El argumento φ y módulo r localizan un punto en un diagrama de Argand; r(\cos \phi + i \sin \phi) o r e^{i\phi} es la expresión polar del punto.

En esta representación, \textstyle{r} es el módulo del número complejo y el ángulo \textstyle{\phi} es el argumento del número complejo.
\textstyle{\phi} = \arctan \left(\frac{b}{a}\right) = \arctan \left( \frac{\hbox{Im}(z)}{\hbox{Re}(z)}\right) = -\arctan \left ( -\frac{\hbox{Im}(z)}{\hbox{Re}(z)}\right)
\cos \phi = \frac{a}{r} \ , \ \sin \phi = \frac{b}{r}
Despejamos a y b en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial:
z = a + \mathrm{i}b ;\; z = r\cos{\phi} + \mathrm{i}r\sin{\phi}
Sacamos factor común r:
z = r \left( \cos{\phi} + \mathrm{i}\sin{\phi} \right)
Frecuentemente, esta expresión se abrevia convenientemente de la siguiente manera:
\ z = r \; \operatorname{cis} \; {\phi}
la cual solo contiene las abreviaturas de las razones trigonométricas coseno, la unidad imaginaria y la razón seno del argumento respectivamente.
Según esta expresión, puede observarse que para definir un número complejo tanto de esta forma como con la representación binomial se requieren dos parámetros, que pueden ser parte real e imaginaria o bien módulo y argumento, respectivamente.
Según la Fórmula de Euler, vemos que:
\cos{\phi} + \mathrm{i}\sin{\phi} = e^{\mathrm{i}\phi} ;\; z = r e^{i\phi}
No obstante, el ángulo \phi no está unívocamente determinado por z, pueden existir infinitos números complejos que tienen el mismo valor representado en el plano, que se diferencian por el número de revoluciones, ya sean de sentido antihorario (positivas) u horario (negativas) las cuales se representan por números enteros k\in\mathbb{Z}, como implica la fórmula de Euler:
\forall{k}{\in}\mathbb{Z}\; z= e^{\mathrm{i}(\phi + 2\pi{}k)}
Por esto, generalmente restringimos \phi al intervalo [-π, π) y a éste \phi restringido lo llamamos argumento principal de z y escribimos φ=Arg(z). Con este convenio, las coordenadas estarían unívocamente determinadas por z.
DEFINICIÓN DE UN COMPLEJO 
Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:
Suma
(a, b) + (c, d) = (a+c,\, b+d)
Producto por escalar
r(a, b) = (ra,\, rb)
Multiplicación
(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc)
Igualdad
(a, b) = (c, d) \iff a = c \and b = d

A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:
Resta
(a, b) - (c, d) = (a-c,\, b-d)
División
\frac{(a, b)}{(c, d)} = {(ac+bd,\,bc-ad) \over c^2+d^2} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2} , {bc - ad \over c^2 + d^2}\right)

Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b), parte imaginaria. Se denomina número imaginario puro a aquel que está compuesto sólo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que a = 0 .
FORMA RECTANGULAR DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS 

UNIDAD IMAGINARIA 
La unidad imaginaria es el número i y se designa por la letra i.
i
i
Números imaginarios
Un número imaginario se denota por bi, donde:
b es un número real
i es la unidad imaginaria
Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando negativo.
x2 + 9 = 0
ecuación
CONJUGADO DE NÚMEROS COMPLEJOS 
Se llama conjugado de un número complejo al número complejo que se obtiene por simetría del dado respecto del eje de abscisas.

Representando el número complejo a + bi  y haciendo la correspondiente simetría, se tiene que su conjugado es a - bi .

Dado un número complejo, su conjugado puede representarse poniendo encima del mismo una línea horizontal. Así se escribirá:

                                           

Propiedades de los conjugados
· Primera propiedad
El conjugado del conjugado de un complejo z es el propio z.

Demostración:

En efecto si z = a + bi  se tiene que  = a - bi , de donde,  = a + bi  = z

· Segunda propiedad
Dados dos números complejos cualesquiera z y z' , el conjugado de su suma es igual a la suma de sus conjugados.

Esto se expresa escribiendo que 

Demostración:
Tomando z = a + bi  y z' = c + di , se tiene:
   
      = a + bi  y ' = c - di , con lo que  + ' = (a + bi ) + (c - di ) = (a + c) + (-b - d)i

Por otra parte:
                    

y es fácil ver que esta expresión coincide con la anterior.

· Tercera propiedad
El conjugado del producto de dos números complejos es igual al producto de los conjugados de dichos números:

                                           

Demostración:

Si z = a + bi  y z = c + di se tiene que z · z = (ac - bd ) + (ad + bc)i , cuyo conjugado es  = (ac - bd) - (ad + bc)i .
Calculando por otro lado el producto de los conjugados, resulta que
 · '  = (a - bi )( c - di ) = ( ac - bd ) + ( -ad - bc) i .
El resultado es igual al anterior.

· Cuarta propiedad

Los complejos que coinciden con sus conjugados son los números reales.

Demostración:
Sea un complejo a + bi  que coincida con su conjugado. Esto equivale a que

a + bi = a - bi

Pero esto sólo ocurre si b = 0, es decir si a + bi  es un número real.

· Quinta propiedad
La suma y el producto de un complejo y su conjugado son, ambos, números reales.

Demostración:

                                              (a + bi ) + (a - bi ) = 2a
                                     (a + bi ) (a - bi ) = a2 - (bi )2 = a2 + b2

OPERACIONES 
La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando las partes reales y las partes imaginarias entre sí, respectivamente.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
Ejemplo: 
(5 + 2i) + ( − 8 + 3i) − (4 − 2i ) =
= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i
Multiplicación de números complejos
El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = −1.
(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Ejemplo: 
(5 + 2 i) · (2 − 3 i) =
= 10 − 15i + 4i − 6i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i
División de números complejos
El cociente de números complejos se realiza multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este.
División de números complejos
Ejemplo: 
División de números complejos
IGUALDAD DE NUMERO COMPLEJO

 




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