FUNCIONES

RESEÑA HISTÓRICA DE FUNCIONES
Según García (2001) el término función fue utilizado por primera vez en 1637 por el matemático y filosofo francés René Descartes (1596-1650), él mostró en sus trabajos de geometría que tenía una idea muy clara de los conceptos de ``variable'' y ``función'', realizando una clasificación de las curvas algebraicas según sus grados, reconociendo que los puntos de intersección de dos curvas se obtienen resolviendo, en forma simultanea, las ecuaciones que las representan, Descartes lo uso por primera vez para designar una potencia xn de la variable x. 

“En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente” (Encarta, 2003). 

En la obra Introductio in Analysi Infinitorum, Leonhard Euler intenta por primera vez dar una definición formal del concepto de función al afirmar que: ``Una función de cantidad variable es una expresión analítica formada de cualquier manera por esa cantidad variable y por números o cantidades constantes''. como puede observarse, esta definición difiere de la que actualmente se conoce, pues siete años después, en el prólogo de las Instituciones, calculo diferencial, afirmó:''Algunas cantidades en verdad dependen de otras, si al ser combinadas las ultimas las primeras también sufren cambio, y entonces las primeras se llaman funciones de las últimas. Esta denominación es bastante natural y comprende cada método mediante el cual una cantidad puede ser determinada por otras. Así, si x denota una cantidad variable, entonces todas las cantidades que dependen de x en cualquier forma están determinadas por x y se les llama funciones de x''. 

“En la historia de las matemáticas se le dan créditos al matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) por precisar el concepto de función, así como por realizar un estudio sistemático de todas las funciones elementales, incluyendo sus derivadas e integrales; sin embargo, el concepto mismo de función nació con las primeras relaciones observadas entre dos variables, hecho que seguramente surgió desde los inicios de la matemática en la humanidad, con civilizaciones como la babilónica, la egipcia y la china” (Encarta, 2003). 
Según García (2001), hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán Peter Dirichlet. Dirichlet entendió la función como una variable y, llamada variable dependiente, cuyos valores son fijados o determinados de una forma definida según los valores que se asignen a la variable independiente x, o a varias variables independientes x1, x2, ..., xk.

“Los valores, tanto de la variable dependiente, como de las variables independientes, son números reales o complejos. La expresión y = f(x), leída “y es función de x” indica la interdependencia entre las variables x e y; f(x) se daba normalmente en forma explícita, como f(x) = x2 - 3x + 5, o mediante una regla expresada en palabras, como f(x) es el primer entero mayor que x para todos aquellos x que sean reales. Si a es un número, entonces f(a) es el valor de la función para el valor x = a. Así, en el primer ejemplo, f(3) = 32 - 3 • 3 + 5 = 5, f(-4) = (-4)2 - 3(-4) + 5 = 33; en el segundo ejemplo, f(3) = f(3,1) = f(p) = 4” (Encarta, 2003).

La aparición de la teoría de conjuntos primero extendió, y luego alteró sustancialmente, el concepto de función. El concepto de función en las matemáticas de nuestros días queda ilustrado a continuación. Sean X e Y dos conjuntos con elementos cualesquiera; la variable x representa un elemento del conjunto X, y la variable y representa un elemento del conjunto Y. Los elementos de ambos conjuntos pueden ser o no números, y los elementos de X no tienen que ser necesariamente del mismo tipo que los de Y. 

El concepto moderno de función está relacionado con la idea de Dirichlet. Dirichlet consideró que y = x2 - 3x + 5 era una función; hoy en día, se considera que y = x2 - 3x + 5 es la relación que determina la y correspondiente a una x dada para un par ordenado de la función ; así, la relación anterior determina que (3, 5), (-4, 33) son dos de los infinitos elementos de la función. Aunque y = f(x) se usa hoy todavía, es más correcto si se lee “y está funcionalmente relacionado con x”.

Las funciones se denominan también transformaciones o aplicaciones en muchas ramas de las matemáticas. Si el conjunto Y1 es un subconjunto propio de Y (esto es, al menos una y pertenece a Y pero no a Y1), entonces F es una función, transformación o aplicación del dominio X1 en Y; si Y1 = Y, F es una función, transformación o aplicación de X1 sobre Y.